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Angle
inner product는 벡터의 length나, 두 벡터 간의 distance를 정의하게 하는 것 외에도 두 벡터 간의 각도 $\omega$를 정의할 수 있습니다.
이때, 두 벡터 $x, y$ 사이의 inner product space에서 각도 $\omega$를 정의하기 위해서 우리는 Cauchy-Schwarz inequality (3.17)를 사용합니다.
Cauchy-Schwarz Inequality
$x \neq 0, y \neq0$을 가정할 때, Angle은 다음과 같습니다.
Cauchy-Schwarz Inequality에서 좌항의 절대값을 제거
모든 항을 $||x||\ ||y||$ 로 나눔
이때, $\omega \in [0, \pi]$는 다음과 같이 정의되며, Figure 3.4과 같이 표현할 수 있습니다.
이때, $\omega$는 두 벡터 $x, y$간의 각도입니다. 각도는 직관적으로 두 벡터의 방향성이 얼마나 일치하는지에 대해서 알려줍니다. 예를들어 inner product가 dot product이고 벡터 $x, y=4x$가 있을 때, $y$는 $x$가 스케일된 벡터이므로 Angle은 0입니다. Angle이 0이라면 방향이 같다는 의미가 됩니다.
Orthogonality
length, distance, angle을 유도하는 것 외에 inner product의 핵심 특징은 두 벡터가 orthogonal인지 아닌지에 대한 알 수 있게 해준다는 것입니다.
Definition 3.7 (Orthogonality)
만약 $\big< x, y \big> =0$이라면, 두 벡터 $x,y$는 orthogonal이며 우리는 이를 $x \perp y$라고 적습니다. 추가적으로 $||x||=1=||y||$라면 벡터는 unit vector라는 속성도 추가되어 orthonormal하다라고 이야기합니다.
이러한 정의가 함축하는 것은 $0$-벡터는 벡터 공간에서 모든 벡터와 orthogonal하다는 것을 의미합니다.
Remark
Orthogonality는 inner product에 대한(bilinear forms) 수직(perpendicularity) 개념의 일반화입니다.
기하학적인 맥락에서는 두 벡터가 orthogonal이라면 두 벡터가 서로 직각인 벡터로써 생각할 수 있습니다.
Definition 3.8 (Orthogonal Matrix)
만약에 모든 column들 끼리 모두 orthonormal하다면 square matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$은 orthogonal matrix입니다.
그리고, 이는 아래의 식과 같은 관계를 갖습니다.
즉, 역행렬을 transpose로 간단히 구할 수 있다는 의미가 됩니다.
orthogonal transformation matrix $A$를 이용한 transformation($Ax$)은 벡터 $x$의 length가 변하지 않는다는 특성이 있습니다. inner product를 dot product라고 생각하면, $||Ax||^{2}$ 은 $||x||^{2}$ 와 같습니다.
거기에 두 벡터 $x, y$사이의 각도 또한 inner product로써 측정되므로 orthogonal matrix $A$를 이용해 transformation시 각도 또한 변하지 않습니다. dot product를 inner product로 가정하고 orthogonal matrix$A$ 가 있을 때, $Ax, Ay$ 간의 각도는 두 벡터 $x, y$ 와 같음을 확인할 수 있습니다.
