Table of Contents

  1. 시작하기; Norm
  2. Distance와 Metric

시작하기; Norm

앞서 norm은 vector의 vector의 lenght 혹은 magnitude의 직관이라고 이야기했었습니다.

아래 식과 같이 어떤 inner product지 간에 norm을 유도한다는 측면에서 Inner product와 norm은 매우 밀접하게 연관 되어있습니다.

위의 식에서 $\big< \cdot, \cdot \big>$는 inner product를 의미합니다.

하지만, 모든 norm이 inner product에 의해 유도되는 것은 아닙니다. Manhattan norm은 inner product로부터 유도되지 않는 대표적인 norm입니다.

norm이 inner product에서 유도되었는지 아닌지를 확인하는 방법에 대해서 알고싶다면, “An example of a norm which can’t be generated by an inner product“과 “Parallelogram law“를 참고하세요.

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Remark. (Cauchy-Schwarz Inequality)

inner product vector space $(V, \big< \cdot, \cdot \big>)$에서 유도된 norm $||\cdot||$은 Cauchy-Schwarz inequality를 만족합니다.

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norm에 의해 계산되는 length는 어떤 inner product냐에 따라 값이 변할 수 있습니다. 아래 Example 3.5에서는 dot product가 아닌 다른 inner product를 사용해서 norm을 구하면 값이 어떻게 변할 수 있는지에 대해 나타냅니다.

Example3.5

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Distance와 Metric

Definition 3.6. (Distance and Metric)

inner product space $(V, \big< \cdot, \cdot \big>)$을 고려했을 때, 아래의 식을 벡터 $x$와 $y$의 distance라고 부릅니다. $(x, y \in V)$

만약에 inner product로 dot product를 사용한다면, 그 distance는 Euclidean distance라고 부릅니다.

이 때, distance에 대한 mapping은 아래와 같이 표현되며, 이를 metric이라고 부릅니다.

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Remark

벡터의 길이와 유사하게 벡터 간의 거리를 구할 때는 inner product가 필요하지 않습니다. 단지 inner product로 유도된 norm이면 됩니다. 다만 거리는 norm이 어떤 inner product로부터 유도된 norm이냐에 따라 다를 수 있습니다.

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지금까지 distnace와 metric의 정의에 대해서 살펴봤습니다. 두 벡터 공간 $V, V$ 에서 $\mathbb{R}$ 공간으로 mapping하는 함수 metric $d$ 는 아래와 같은 속성을 갖습니다.

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  1. positive definite

    • $d(x, y) \geqslant 0, \forall x, y \in V$

    • $d(x, y) = 0 \Longleftrightarrow x=y.$

  2. symmetric

    • $d(x, y) = d(y, x), \forall x, y \in V$

  3. Triangle inequality

    • $d(x, z) \leqslant d(x, y) + d(y, z), \forall x,y,z \in V$

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Remark

inner product와 metric의 속성은 매우 유사해보입니다. 하지만 위에 언급한 Definition 3.6과 이전에 챕터에서 Definition 3.3을 비교해보면 $\big< x, y \big>, d(x,y)$ 는 서로 반대되는 방식으로 동작합니다.

Definition 3.3

$V$를 벡터공간, $\Omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$을 두 벡터를 real number로 맵핑하는 bilinear mapping이라고 해봅시다.

  • positive definite, symmetric bilinear mapping $\Omega: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$은 벡터공간 $V$에서의 inner product라고 부릅니다.
  • $(V, \big<\cdot, \cdot\big>)$는 inner product space 혹은 inner product가 있는 (real) vector space라고 부릅니다. 만약 (3.5)에서 정의한 dot product를 사용한다면 우리는 $(V, \big<\cdot, \cdot \big>)$을 Euclidean vector space라고 부릅니다.

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즉, 벡터 $x, y$가 서로 유사할 때, inner product는 매우 큰 값을 갖으며 metric은 매우 작은 값을 갖습니다.

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